Doutorado_padrão de respostas_Seleção_do_PPGMAT.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Instituto de Matemátia
Programa de Pós graduação em Matemática

Padrão de Respostas da Seleção de Doutorado
Data: 07 de março de 2025

1. Identificando as colunas de uma matriz com um vetor Rn , temos A = (A1 , A2 , . . . , An ) ∈
2
2
Rn . O determinante det : Rn → R é uma aplicação n-linear e, então, contínua. Por
fim, podemos usar que A é invertível se, e somente se, det(A) ̸= 0, para concluir que
o GL(n, R) = det−1 (R − {0}) é aberto.
2. Seja f (X) = A∪B uma cisão. Então, A e B são abertos em f (X). Como f é contínua,
segue que X = f −1 (A) ∪ f −1 (B) com f −1 (A) e f −1 (B) é aberto em X. Usando que X
é conexo, obtemos que f −1 (A) = ∅ ou f −1 (B) = ∅ que implica que A = ∅ ou B = ∅.
3. Existe (yk ) tal que |x − yk | → d(x, F ). Logo, |xk | ≤ |yk − x| + |x| é limitada. Usando
o Teorema de Bolzano-Weierstrass, existem (ykj ) e y ∈ F tais que ykj → y. Logo,
d(x, F ) = lim |ykj − x| = |y − x|. Suponha que tenhamos dois ponto y0 ̸= y1 em F tais
que |x − y0 | = d(x, F ) = |x − y1 |. Logo, o triângulo y0 xy1 é isósceles. Pela convexidade
y0 + y1
de F , a =
∈ F e, portanto, |x − a| < d(x, F ). Absurdo!
2
Rb
Rb
4. Com os devidos detalhes, basta justificar que |f (b)−f (a)| = | a f ′ (t) dt| ≤ a |f ′ (t)|dt ≤
Rb ′
ψ (t)dt = ψ(b) − ψ(a).
a
5. Sabemos que se f é integrável, |f | é integrável. O complementar de um conjunto de
medida nula, sendo denso, possui pontos em toda bola. Logo, como |f (x)| ≥ 0 para
P
todo x ∈ A, tem-se mB = 0, donde s(|f |; P ) = B∈P mB . vol B = 0 seja qual for
a partição do bloco A. Então a integral inferior de |f | em A deve ser 0 e, como f é
R
R
integrável, A |f (x)|dx = 0, portanto, A f (x)dx = 0.