Matemática

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MAT 101 - Álgebra I

CÓDIGO: MAT 101

DISCIPLINA: Álgebra I

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

  • Teórica (por semana): 4
  • Prática (por semana): 2
  • Total: 90 horas

EMENTA:

Grupos: Exemplos de grupos. Subgrupos. Classes laterais e Teorema de Lagrange. Subgrupos normais e grupos quocientes. Homomorfismos de grupos. Grupos cíclicos. Grupos de permutações. Estudo de um Grupo Via Representações por Permutações: Representação de um grupo como grupo de permutações de um conjunto. Teoremas Sylow. p-grupos finitos. Grupos Abelianos Finitamente Gerados: Produto direto interno. Grupos abelianos livres finitamente gerados. Decomposição dos grupos abelianos finitamente gerados. Anéis e Domínios: Definições e exemplos. Anéis de polinômios. Domínios euclidianos. Homomorfismo de Anéis. Fatoração Única: Definição e exemplos. Fatoração única em Domínios euclidianos. Fatoração única em Anéis de polinômios. Relação entre Raízes e Fatores de um Polinômio. Critério de Eisenstein. Teoria de Galois: Extensões Algébricas de Corpos. Corpos algebricamente fechados. Decomposição de Corpos. Corpos finitos. Extensões normais e separáveis. Teorema Fundamental da Teoria de Galois.

PROGRAMA:

  1. Grupos: Exemplos de grupos. Subgrupos. Classes laterais e Teorema de Lagrange. Subgrupos normais e grupos quocientes. Homomorfismos de grupos. Grupos cíclicos. Grupos de permutações;
  2. Estudo de um Grupo Via Representações por Permutações: Representação de um grupo como grupo de permutações de um conjunto. Teoremas Sylow. p-grupos finitos;
  3. Grupos Abelianos Finitamente Gerados: Produto direto interno. Grupos abelianos livres finitamente gerados. Decomposição dos grupos abelianos finitamente gerados;
  4. Anéis e Domínios: Definições e exemplos. Anéis de polinômios. Domínios euclidianos. Homomorfismo de Anéis.
  5. Fatoração Única: Definição e exemplos. Fatoração única em Domínios euclidianos. Fatoração única em Anéis de polinômios. Relação entre Raízes e Fatores de um Polinômio. Critério de Eisenstein;
  6. Teoria de Galois: Extensões Algébricas de Corpos. Corpos algebricamente fechados. Decomposição de Corpos. Corpos finitos. Extensões normais e separáveis. Teorema Fundamental da Teoria de Galois.

BIBLIOGRAFIA:

  1. BIRKHOFF, G. & MACLANE, S. - A Survey of Modern Algebra. 5th Edition, AKP Classic Series, Peters AK Limited, 1997.
  2. GARCIA, A. & LEQUAIN, Y. - Elementos de Álgebra. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2002.
  3. HERSTEIN, I.N. - Topics in Algebra. 2nd Edition, John Wiley & Sons, New York, 1975.
  4. BHATTACHARYA, P. B., JAIN, S. K. & NAGPAUL, S. R. - Basic Abstract Algebra. 2nd Edition, Cambridge University Press, New York, 1994.