Cálculo Avançado - Prof. Abraão Mendes

Conteúdo

CÁLCULO DIFERENCIAL DE CAMPOS ESCALARES E VETORIAIS

  1. Funções de Rn em Rm. Campos escalares e vetoriais (15/07)
  2. Bolas abertas e conjuntos abertos (15/07)
  3. Limites e continuidade (17/07)
  4. A derivada de um campo escalar em relação a um vetor (17/07)
  5. Derivadas direcionais e derivadas parciais (17/07)
  6. Derivadas parciais de ordem superior (19/07)
  7. Derivadas direcionais e continuidade (19/07)
  8. A derivada total (19/07)
  9. O gradiente de um campo escalar (19/07)
  10. Uma condição suficiente para a diferenciabilidade (22/07)
  11. Uma regra da cadeia para derivadas de campos escalares (22/07)
  12. Aplicações à geometria. Conjuntos de nível. Planos tangentes (22/07)
  13. Derivadas de campos vetoriais (24/07)
  14. Diferenciabilidade implica continuidade (24/07)
  15. A regra da cadeia para derivadas de campos vetoriais (24/07)
  16. Forma matricial da regra da cadeia (24/07)
  17. Condições suficientes para a igualdade das derivadas parciais mistas (26/07)

APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL

  1. Equações diferenciais parciais (29/07)
  2. Uma equação diferencial parcial de primeira ordem com coeficientes constantes (29/07)
  3. A equação da onda unidimensional (29/07)
  4. Derivadas de funções definidas implicitamente (31/07)
  5. Exemplos resolvidos (31/07)
  6. Pontos de máximo, de mínimo e de sela (05/08)
  7. Fórmula de Taylor de segunda ordem para campos escalares (05/08)
  8. A natureza de um ponto estacionário determinada pelos autovalores da matriz Hessiana (07/08)
  9. Teste da segunda derivada para extremos de funções de duas variáveis (07/08)
  10. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange (07/08)
  11. O teorema do valor extremo para campos escalares contínuos (12/08)
  12. O teorema da continuidade uniforme para campos escalares contínuos (12/08)

INTEGRAIS DE LINHA

  1. Introdução (14/08)
  2. Caminhos e integrais de linha (14/08)
  3. Outras notações para integrais de linha (14/08)
  4. Propriedades básicas das integrais de linha (14/08)
  5. O conceito de trabalho como uma integral de linha (14/08)
  6. Integrais de linha em relação ao comprimento do arco (16/08)
  7. Outras aplicações das integrais de linha (16/08)
  8. Conjuntos abertos conexos. Independência do caminho (16/08)
  9. O segundo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha (16/08)
  10. Aplicação à Mecânica (16/08)
  11. O primeiro teorema fundamental do cálculo para integrais de linha (21/08)
  12. Condições necessárias e suficientes para um campo vetorial ser um gradiente (21/08)
  13. Condições necessárias para um campo vetorial ser um gradiente (21/08)
  14. Métodos especiais para construir funções potenciais (21/08)
  15. Aplicações às equações diferenciais exatas de primeira ordem (26/08)
  16. Funções potenciais em conjuntos convexos (26/08)

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

  1. Introdução (28/08)
  2. Partições de retângulos. Funções escadas (28/08)
  3. A integral dupla de uma função escada (28/08)
  4. A definição da integral dupla de uma função definida e limitada em um retângulo (28/08)
  5. Integrais duplas superior e inferior (28/08)
  6. Cálculo de uma integral dupla por integração unidimensional repetida (28/08)
  7. Interpretação geométrica da integral dupla como um volume (30/08)
  8. Exemplos resolvidos (30/08)
  9. Integrabilidade de funções contínuas (02/09)
  10. Integrabilidade de funções limitadas com descontinuidades (02/09)
  11. Integrais duplas estendidas a regiões mais gerais (02/09)
  12. Aplicações a áreas e volumes (04/09)
  13. Exemplos resolvidos (04/09)
  14. Outras aplicações das integrais duplas (04/09)
  15. Dois teoremas de Pappus (09/09)
  16. Teorema de Green no plano (09/09)
  17. Algumas aplicações do teorema de Green (09/09)
  18. Uma condição necessária e suficiente para um campo vetorial bidimensional ser um gradiente (11/09)
  19. Teorema de Green para regiões multiplamente conexas (11/09)
  20. O índice de rotação (11/09)
  21. Mudança de variáveis em uma integral dupla (13/09)
  22. Casos especiais da fórmula de mudança de variáveis (13/09)
  23. Demonstração da fórmula de mudança de variáveis em um caso especial (13/09)
  24. Demonstração da fórmula de mudança de variáveis no caso geral (13/09)
  25. Extensões para dimensões superiores (18/09)
  26. Mudança de variáveis em uma integral múltipla (18/09)
  27. Exemplos resolvidos (18/09)

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

  1. Representação paramétrica de uma superfície (23/09)
  2. O produto vetorial fundamental (23/09)
  3. O produto vetorial fundamental como uma normal à superfície (25/09)
  4. Área de uma superfície paramétrica (25/09)
  5. Integrais de superfície
  6. Mudança de representação paramétrica
  7. Outras notações para integrais de superfície
  8. O teorema de Stokes
  9. O rotacional e a divergência de um campo vetorial
  10. Outras propriedades do rotacional e da divergência
  11. Reconstrução de um campo vetorial a partir do seu rotacional
  12. Extensões do teorema de Stokes
  13. O teorema da divergência (teorema de Gauss)
  14. Aplicações do teorema da divergência

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Bibliografia

APOSTOL, T. M. Cálculo Volume 2. [s.l.] Editorial Reverté, S. A., 1996.